역삼각함수가 나오는 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번

OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 $C=0$ 인 부정적분 $\int f$ 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 의 값과 같아지도록 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\int \frac{1}{x\sqrt{{x}^{2}-4}}dx$ , 구간 $[2,6]$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative $\int f$ with $C=0$ over the given interval $[a,b].$ Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.$

[T] $\int \frac{1}{x\sqrt{{x}^{2}-4}}dx$ over $[2,6]$

정답·풀이 보기

제4사분면에 있는 함수 f(x) = -.5 * 아크탄젠트(2 / (√(x^2 – 4)))의 그래프이다. 이 그래프는 증가하며 위로 볼록한 곡선이고, x=2 에서 수직 점근선을 가진다.

부정적분은 $\frac{1}{2}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C$ 이다. $C=0$ 으로 잡으면 $[2,6]$ 에서의 정적분과 같은 값이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the function f(x) = -.5 * arctan(2 / ( sqrt(x^2 – 4) ) ) in quadrant four. It is an increasing concave down curve with a vertical asymptote at x=2.

The antiderivative is $\frac{1}{2}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C.$ Taking $C=0$ recovers the definite integral over $[2,6].$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번우리말 번역

다음 연습문제에서, $C=0$ 일 때 f 의 부정적분 $\int f$ 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더하면 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] $\int \frac{1}{\sqrt{9-{x}^{2}}}dx$ , 구간 $[-3,3]$

다 풀었으면 정답 확인

두 개의 그래프가 있다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 1 / √(9 – x^2) 을 나타낸다. 이 그래프는 위로 열린 곡선이며 y축에 대해 대칭이고, (0, 1/3) 을 지난다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = 아크사인(1/3 x) 를 나타낸다. 이 그래프는 증가하는 곡선이며 원점을 지난다.

부정적분은 ${\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$ 이다. $C=\frac{\pi }{2}$ 로 놓으면 정적분이 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류