역삼각함수가 나오는 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.7절 · 21번

OpenStax 1권 · 5.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절한 치환을 사용하여 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{\sin }^{-1}tdt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the antiderivative using appropriate substitutions.

$\int \frac{{\sin }^{-1}tdt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}{({\sin }^{-1}t)}^{2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}{({\sin }^{-1}t)}^{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 $C=0$ 으로 하여 f 의 부정적분 $\int f$ 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더했을 때 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] $\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx$ , 구간 $[-6,6]$

다 풀었으면 정답 확인

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2) 를 나타낸다. 구간 (-6, 6) 에서 진동하는 함수이며, 방향이 바뀌는 점(전환점)이 대략 (-3, -2.5), (0, .25), (3, -2.5) 에 있다. 이 중 (0,.25) 는 극댓값, 나머지는 극솟값이다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)) 를 나타내며, 이 역시 구간 (-6,6) 에서 진동한다. 꺾이는 점(전환점)은 대략 (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), (4.5, -.25) 에 있다.

부정적분은 $\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C$ 이다. $C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right)$ 로 놓으면 정적분이 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류