역삼각함수가 나오는 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번

OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 $C=0$ 인 부정적분 $\int f$ 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] $[-6,6]$ 에서 $\int \frac{(\sin x+x\cos x)}{1+{x}^{2}{\sin }^{2}x}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to graph the antiderivative $\int f$ with $C=0$ over the given interval $[a,b].$ Approximate a value of C, if possible, such that adding C to the antiderivative gives the same value as the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.$

[T] $\int \frac{(\sin x+x\cos x)}{1+{x}^{2}{\sin }^{2}x}dx$ over $[-6,6]$

정답·풀이 보기

구간 (-6,6) 에서 f(x) = arctan(x sin(x)) 의 그래프이다. 대략 (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1), (5,-1.5) 에 꺾이는 점이 다섯 개 있다.

일반적인 부정적분은 ${\tan }^{-1}(x\sin x)+C$ 이다. $C=-{\tan }^{-1}(6\sin (6))$ 으로 놓으면 정적분과 같아진다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph of f(x) = arctan(x sin(x)) over (-6,6). It has five turning points at roughly (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1), and (5,-1.5).

The general antiderivative is ${\tan }^{-1}(x\sin x)+C.$ Taking $C=-{\tan }^{-1}(6\sin (6))$ recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.7절 · 23번우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절한 치환을 사용하여 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{\tan }^{-1}(2t)}{1+4{t}^{2}}dt$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{4}{({\tan }^{-1}(2t))}^{2}+C$

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