역삼각함수가 나오는 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번대학 수준우리말 번역

$A>0$ 일 때, $I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}}$ 을 계산하고, $\frac{1}{1+{t}^{2}}$ 의 그래프 아래 $[-\infty ,\infty ]$ 에서의 넓이인 $\lim_{A\to \infty }I(A)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For $A>0,$ compute $I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}}$ and evaluate $\lim_{A\to \infty }I(A),$ the area under the graph of $\frac{1}{1+{t}^{2}}$ on $[-\infty ,\infty ].$

정답·풀이 보기

$2{\tan }^{-1}(A)\to \pi$ as $A\to \infty$

원본 교재 풀이(영어)

$2{\tan }^{-1}(A)\to \pi$ as $A\to \infty$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 이용하여 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 $C=0$ 인 부정적분 $\int f$ 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 의 값과 같아지도록 하는 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] $[-6,6]$ 에서 $\int \frac{(\sin x+x\cos x)}{1+{x}^{2}{\sin }^{2}x}dx$

다 풀었으면 정답 확인

구간 (-6,6) 에서 f(x) = arctan(x sin(x)) 의 그래프이다. 대략 (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1), (5,-1.5) 에 꺾이는 점이 다섯 개 있다.

일반적인 부정적분은 ${\tan }^{-1}(x\sin x)+C$ 이다. $C=-{\tan }^{-1}(6\sin (6))$ 으로 놓으면 정적분과 같아진다.

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# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류