역삼각함수가 나오는 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번

OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

치환 $u=\sqrt{2}\,\cot x$ 와 항등식 $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ 를 이용하여 $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}$ 의 값을 구하세요. (힌트: 피적분함수의 분자와 분모에 ${\csc }^{2}x.)$ 를 곱하세요.

영어 원문 보기

Use the substitution $u=\sqrt{2}\,\cot x$ and the identity $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ to evaluate $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}.$ (Hint: Multiply the top and bottom of the integrand by ${\csc }^{2}x.)$

정답·풀이 보기

힌트를 이용하면 $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx$ 이다. $u=\sqrt{2}\cot x$ 로 놓으면 $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ 이고, 적분은 $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C$ 이다. 항등식 ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2}$ 를 이용하면, 이는 $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C$ 로도 나타낼 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the hint, one has $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx.$ Set $u=\sqrt{2}\cot x.$ Then, $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ and the integral is $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C.$ If one uses the identity ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2},$ then this can also be written $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.7절 · 37번우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{{\cos }^{-1}(2t)}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}dt$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$-\frac{1}{4}{({\cos }^{-1}(2t))}^{2}+C$

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류