두 곡선 사이의 넓이 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번

OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=|x|$ 와 $y=x^2$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y=|x|\,\text{and}\,y={x}^{2}$

풀이 보기

교점으로 구간을 정하고, 그 구간에서 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀 것을 적분해요. 좌우 대칭이면 한쪽만 구해 두 배 해요.

1
그림에서 직선 모양의 $y=|x|$ 가 위에, 포물선 $y=x^2$ 이 아래에 있고 둘로 둘러싸인 부분이 색칠된 영역이에요. 교점은 $|x|=x^2$ 에서 $x=-1,\,0,\,1$ 이에요.
2
두 그래프는 $y$ 축에 대해 대칭이므로 $0\le x\le1$ 부분의 넓이를 구해 두 배 해요. 이 구간에서 $|x|=x$ 이므로 (위)−(아래)는 $x-x^2$ 이에요.
3
$\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$
4
두 배 하면 $2\cdot\frac16=\frac13$ 이에요.

답

$\frac13$

자주 하는 실수

$0$ 부터 $1$ 까지만 구하고 두 배 하는 것을 잊어 $\frac16$ 이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the functions f(x)=x^2 and g(x)=absolute value of x. There are two shaded regions. The first region is in the second quadrant and is between g(x) above and f(x) below. The second region is in the first quadrant and is bounded above by g(x) and below by f(x).

$\frac{1}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.1절 · 55번

다음 문제에서 $x$ 에 대해 적분하는 방법과 $y$ 에 대해 적분하는 방법으로 두 곡선 사이의 넓이를 각각 구하세요. 한쪽 방법이 더 쉬운가요? 두 방법의 답은 같은가요?

$x=y^{2}-2$ 그리고 $x=2y$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$4\sqrt{3}$ (두 방법의 답은 같고, $y$ 로 적분하는 방법이 더 쉬움)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 두 곡선 사이의 넓이그래프·표 해석보통