넓이(여러 가지 함수)

어느 구간에서 어느 곡선이 위쪽에 있는지 알아내야 한다. 이를 위해 $h(x) = 3x - x\sqrt{25-x^2}$ 로 놓는다. $h(x) > 0$ 이면 $y=3x$ 가 위쪽 곡선이고, $h(x)<0$ 이면 $y=x\sqrt{25-x^2}$ 이 위쪽 곡선이다.

$$\begin{aligned} h(x) &= 3x - x\sqrt{25-x^2} = x\left[3-\sqrt{25-x^2}\right] \\ \text{우리는 $[0,4]$ 에 속하는 $x$ 의 값만 다루므로 $x$ 는 음이 아니다. 그러면 $h(x)$ 가 양수가 되는 경우는:} \\ 3&> \sqrt{25-x^2}\\ 9&> 25-x^2\\ x^2 & > 16\\ x&> 4 \end{aligned}$$

즉, 구간 $[0,4]$ 에서 $h(x)$ 는 양수가 되는 일이 없다. 따라서 $0\le x\le 4$ 인 모든 $x$ 에 대해 $y = x \sqrt{25-x^2}$ 이 $y=3x$ 보다 위에 있다.

그러므로 구하는 넓이는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} A &= \int_0^4 \left[x \sqrt{25-x^2} - 3x\right]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^4 x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x - \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x \\&= A_1 - A_2. \end{aligned}$$

$A_1$ 을 계산하기 위해 치환 $u(x) = 25-x^2$ 을 사용한다. 이때 $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x= -2x\,\mathrm{d}x$ 이고, $x=4$ 일 때 $u(4)=25-4^2=9$, $x=0$ 일 때 $u(0)=25-0^2=25$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} A_1 &= \int_{x=0}^{x=4} x \sqrt{25-x^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int_{u=25}^{u=9} \sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{25}^{9} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3} \end{aligned}$$

$A_2$ 는 부정적분을 직접 이용한다.

$$A_2 = \int_0^4 3x\,\mathrm{d}x =\left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^4 = 24$$

따라서 전체 넓이는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} A = \frac{98}{3} - 24 = \frac{26}{3} \end{aligned}$$