넓이(여러 가지 함수)

아래 그림과 같이 가늘고 긴 세로 띠를 이용하여 넓이를 계산한다.

위 그림을 보면 직선 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 가 곡선 $y = 4 + \pi \sin x$ 와 $x=\frac{\pi}{2},$ $x=\pi$, $x=\frac{3\pi}{2}$ 에서 만난다고 짐작할 수 있다. 이것이 맞는지 두 식에 각각 대입하여 $y$ 값이 일치하는지 확인하자.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & 4+2\pi-2x & 4+\pi\sin(x) & \text{일치?} \\ \hline \frac{\pi}{2} & 4+\pi & 4+\pi & \text{\checkmark} \\ \hline \pi & 4 & 4 & \text{\checkmark} \\ \hline \frac{3\pi}{2} & 4-\pi & 4-\pi & \text{\checkmark} \\ \hline \end{array}$$

또 그림에서 다음을 알 수 있다.

• $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ 일 때, 띠의 위쪽 끝은 $y = 4 + \pi \sin x$ 에 있고 아래쪽 끝은 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 에 있다. 따라서 띠의 높이는 $\big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]$ 이고 너비는 $\mathrm{d}x$ 이므로 넓이는 $\big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]\mathrm{d}x$ 이다.
• $\pi \le x \le \frac{3\pi}{2}$ 일 때, 띠의 위쪽 끝은 $y = 4 + 2\pi - 2x$ 에 있고 아래쪽 끝은 $y = 4 + \pi \sin x$ 에 있다. 따라서 띠의 높이는 $\big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]$ 이고 너비는 $\mathrm{d}x$ 이므로 넓이는 $\big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]\mathrm{d}x$ 이다.

이제 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \text{넓이} &= \int_{\pi/2}^\pi \big[(4 + \pi \sin x)-(4 + 2\pi - 2x)\big]\ \mathrm{d}x +\int^{3\pi/2}_\pi \big[(4 + 2\pi - 2x)-(4 + \pi \sin x)\big]\ \mathrm{d}x\\ &= \int_{\pi/2}^\pi \big[\pi \sin x- 2\pi + 2x\big]\ \mathrm{d}x +\int^{3\pi/2}_\pi \big[2\pi - 2x- \pi \sin x\big]\ \mathrm{d}x\\ &=\Big[-\pi \cos x- 2\pi x + x^2\Big]_{\pi/2}^\pi +\Big[2\pi x - x^2+ \pi \cos x\Big]^{3\pi/2}_\pi\\ &=\left[\pi-\pi^2+\frac{3}{4}\pi^2\right] +\left[\pi^2-\frac{5}{4}\pi^2+\pi\right]\\ &=2\Big[\pi-\frac{1}{4}\pi^2\Big] \end{aligned}$$