넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번

OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 편한 쪽으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=xe^x$ , $y=e^x$ , $x=0$ , $x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=x{e}^{x},y={e}^{x},x=0,\,\text{and}\,x=1$

풀이 보기

구간 $[0,1]$ 에서 어느 곡선이 위인지 확인하고, $xe^x$ 는 부분적분으로 적분해요.

1
$e^x>0$ 이므로 $xe^x\le e^x$ 인지는 $x\le1$ 인지로 정해져요. $0\le x\le1$ 에서 $x\le1$ 이므로 $y=e^x$ 가 위, $y=xe^x$ 가 아래예요. 그림에서도 $x=1$ 에서 두 곡선이 만나요.
2
넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$ 예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$ 이에요.
3
$\int_0^1xe^x\,dx$ 는 부분적분으로 구해요. $u=x$ , $v'=e^x$ 로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$ 이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$ 이에요.
4
따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$ 예요.