두 곡선 사이의 넓이 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번

OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $y$ 축 방향으로 적분하여 두 곡선 사이 영역의 넓이를 구하세요.

$x=y^2$ 과 $x=9$

두 그래프 x=y^2 과 x=9 이고, 두 그래프 사이 영역이 색칠되어 있어요. 영역은 가로 방향으로 놓여 있고 y 축과 직선 x=9 사이에 있어요.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves by integrating over the $y\text{-axis}.$

$x={y}^{2}\,\text{and}\,x=9$

This figure is has two graphs. They are the equations x=y^2 and x=9. The region between the graphs is shaded. It is horizontal, between the y-axis and the line x=9.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x$ 가 $y$ 의 함수이니 $y$ 로 적분하고, (오른쪽 곡선 $-$ 왼쪽 곡선)을 더해요.

1
곡선이 $x=y^2$ 처럼 $x$ 를 $y$ 로 나타낸 꼴이라 $y$ 에 대해 적분하는 것이 편해요. 그림에서 영역은 왼쪽이 포물선 $x=y^2$ , 오른쪽이 직선 $x=9$ 예요.
2
적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳이에요. $y^2=9$ 에서 $y=-3$ , $y=3$ 이에요.
3
가로 길이(오른쪽 $-$ 왼쪽)는 $9-y^2$ 이므로 $A=\int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy$ 예요.
4
계산해요. 피적분함수가 짝함수라 $2\int_0^3(9-y^2)\,dy$ 로 바꿀 수 있어요. $2\left[9y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=36$

답

$36$

자주 하는 실수

위쪽·아래쪽 대신 오른쪽·왼쪽을 빼야 하는데 순서를 바꾸면 부호가 음수가 돼요. 넓이는 항상 양수예요.

원본 교재 풀이(영어)

$36$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=|x|$ 와 $y=x^2$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac13$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 두 곡선 사이의 넓이계산보통