입체도형의 부피

(a) 위의 그림을 보라. 두 곡선의 교점은 제1사분면에서 $\cos(x) = \sin(x)$ 인 곳이므로 점 $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 이다. (b) $R$ 의 넓이는 다음 정적분으로 주어진다. $$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} ( \cos(x) - \sin(x) ) \, dx\,.$$ (c) $R$ 을 $x$축을 중심으로 회전시키고, 축에 수직이며 두께가 $\triangle x$ 인 조각으로 자르면, 생기는 와셔의 바깥쪽 반지름은 $R(x) = \cos(x)$ 이고 안쪽 반지름은 $r(x) = \sin(x)$ 이다. 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \triangle x$$ 이므로, 구간 $x = 0$ 부터 $x = \pi/4$ 까지 조각들을 정적분으로 더하면 회전체의 부피는 다음과 같다. $$V = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \pi (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \, dx\,.$$ (d) $R$ 을 $y$축을 중심으로 회전시키면, 생기는 도형의 단면은 $y$축에 수직이고 두께가 $\triangle x$ 인 원판이다. 그런데 각 원판의 반지름을 결정하는 반지름 $R(y)$ 는 $y = 0$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서 높이 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 에서 바뀐다. 또한 영역을 둘러싸는 두 곡선을 $y$의 함수로서 $x$ 로 나타내야 한다. $y = 0$ 부터 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 까지의 구간에서는 사인 함수가 경계를 이루며 이를 $x = \arcsin(y)$ 로 쓴다. $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서는 코사인 함수가 경계를 이루며 이를 $x = \arccos(y)$ 로 쓴다. 아래쪽 구간에서 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi \arcsin^2(y) \triangle y\,.$$ 위쪽 구간에도 같은 방법으로 생각하고 알맞은 정적분으로 조각들을 더하면 다음을 얻는다. $$V = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \pi \arcsin^2(y) \, dy + \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \pi \arccos^2(y) \, dy$$ (e) 그림을 그린다. $R$ 을 직선 $y = 2$ 를 중심으로 회전시키면, 직선 $y = 2$ 에 수직인 단면은 두께가 $\triangle x$ 이고 바깥쪽 반지름이 $R(x) = 2 - \sin(x)$, 안쪽 반지름이 $r(x) = 2 - \cos(x)$ 인 와셔이다. 구간 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 에서 $2 - \sin(x) \ge 2 - \cos(x)$ 이기 때문이다. 따라서 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi [(2 - \sin(x))^2 - (2 - \cos(x))^2] \triangle x$$ 이고, 이를 적분하여 전체 부피를 구하면 다음과 같다. $$V = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \pi [(2 - \sin(x))^2 - (2 - \cos(x))^2] \, dx\,.$$ (f) $R$ 을 직선 $x = -1$ 을 중심으로 회전시키면, 생기는 도형의 단면은 $y$축에 수직이고 두께가 $\triangle x$ 인 와셔이다. 안쪽 반지름은 항상 $r(y) = 1$ 이지만, 각 와셔의 더 큰 반지름을 결정하는 바깥쪽 반지름 $R(y)$ 는 $y = 0$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서 높이 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 에서 바뀐다. (d)와 마찬가지로 영역을 둘러싸는 두 곡선을 $y$의 함수로서 $x$ 로 나타낸다. $y = 0$ 부터 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 까지의 구간에서는 $R(y) = 1 + \arcsin(y)$ 이고, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서는 $R(y) = 1 + \arccos(y)$ 이다. 아래쪽 구간에서 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi [ (1+\arcsin(y))^2 - 1^2 ] \triangle y\,.$$ 위쪽 구간에도 같은 방법으로 생각하고 알맞은 정적분으로 조각들을 더하면 다음을 얻는다. $$V = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \pi [ (1+\arcsin(y))^2 - 1^2 ] \, dy + \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \pi [ (1+\arccos(y))^2 - 1^2 ] \, dy$$