회전체의 겉넓이 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.4절 · 29번

OpenStax 1권 · 6.4절 · 29번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 곡선을 $x$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이를 구하세요. 적분을 정확히 구할 수 없으면 계산기로 근삿값을 구하세요.

$y=7x$ ( $x=-1$ 부터 $x=1$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the $x\text{-axis}.$ If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

$y=7x$ from $x=-1\,\text{to}\,x=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

겉넓이는 $\int 2\pi\,(\text{반지름})\,ds$ 이고, 반지름은 $|y|$ , $ds=\sqrt{1+(y')^2}dx$ 예요.

1
$x$ 축 둘레로 돌린 곡면의 넓이는 $S=\int_a^b2\pi\,|y|\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요. 반지름은 축에서 곡선까지의 거리 $|y|$ 라서 절댓값이 필요해요.
2
$y'=7$ 이므로 $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ 이고 $|y|=7|x|$ 예요.
3
$S=2\pi\int_{-1}^{1}7|x|\cdot5\sqrt2\,dx=70\sqrt2\,\pi\int_{-1}^{1}|x|\,dx$
4
$\int_{-1}^{1}|x|\,dx=2\int_0^1x\,dx=2\cdot\frac12=1$ 이므로 $S=70\sqrt2\,\pi$ 예요.
5
검산해요. 이 곡면은 꼭짓점이 원점인 두 원뿔을 맞붙인 모양이에요. 한 원뿔은 밑면 반지름 $7$ , 높이 $1$ , 빗변 $\sqrt{50}$ 이므로 옆넓이 $\pi\cdot7\cdot\sqrt{50}=35\sqrt2\,\pi$ 이고, 둘을 합하면 $70\sqrt2\,\pi$ 예요.

답

$70\sqrt{2}\,\pi$

자주 하는 실수

$x<0$ 에서 $y$ 가 음수라 반지름이 음수가 되어 구간 전체가 $0$ 으로 상쇄된다고 착각해요. 반지름은 $|y|$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

$70\pi \sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번

구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)$ 의 평균값이, $c>0$ 일 때 구간 $\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]$ 에서 $f(cx)$ 의 평균값과 같음을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

증명 완료: $\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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