지수적 증가와 감소

$t$일 후 시료에 남아 있는 폴로늄-210의 양은 다음과 같이 주어진다는 것을 알고 있다.

$$\begin{aligned} Q(t)&=Ce^{-kt} \\ \text{여기서 $C$ 는 시료의 처음 양이고, $k$ 는 어떤 양의 상수이다.} \\ \\ \text{문제는 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 묻고 있다. $t$ 를 일 단위로 재므로, 하루 동안 붕괴하는 양은 $Q(t)-Q(t+1)$ 이다. 이 양이 $Q(t)$ 에서 차지하는 퍼센트는 $100\dfrac{Q(t)-Q(t+1)}{Q(t)}$ 이다. (예를 들어 시각 $t$ 에 2 그램이 있었고 시각 $t+1$ 에 1 그램이 있었다면 $100\dfrac{2-1}{1}=50$ 이므로, 시료의 50\% 가 하루 동안 붕괴한 것이다.)} \\ \\ \text{식을 간단히 하기 위해 $Q(t)$ 를 더 알맞은 식으로 나타내야 한다. 늘 그렇듯이 반감기를 이용한다.} \\ Q(138)&=\frac{C}{2}\\ Ce^{-k\cdot138}&=\frac{C}{2}\\ \left(e^{-k}\right)^{138}&=\frac{1}{2}=2^{-1}\\ e^{-k}&=2^{-\tfrac{1}{138}} \\ \text{이제 $Q(t)$ 에 대한 더 알맞은 식을 얻었다:} \\ Q(t)&=C\left(e^{-k}\right)^t\\ Q(t)&=C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}} \\ \text{마지막으로, 시료의 몇 퍼센트가 하루 동안 붕괴하는지 계산할 수 있다.} \\ 100\frac{Q(t)-Q(t+1)}{Q(t)}&=100\frac{C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}}-C\cdot2^{-\tfrac{t+1}{138}}}{C\cdot2^{-\tfrac{t}{138}}}\left(\frac{\frac{1}{C}}{\frac{1}{C}}\right)\\ &=100\frac{2^{-\tfrac{t}{138}}-2^{-\tfrac{t+1}{138}}}{2^{-\tfrac{t}{138}}}\\ &=100\left(2^{-\tfrac{t}{138}}-2^{-\tfrac{t+1}{138}}\right)2^{\tfrac{t}{138}}\\ &=100\left(1-2^{-\tfrac{1}{138}}\right)\approx 0.5 \end{aligned}$$

시료의 약 0.5%가 하루 동안 붕괴한다.

참고: 시료의 0.5퍼센트가 하루 동안 붕괴한다고 할 때, 이것은 처음 시료의 0.5퍼센트를 뜻하는 것이 아니다. 어떤 날이 시작될 때 시료가 1 마이크로그램이라면, 그 후 24시간 동안 붕괴하는 양은 (어떤 시각 $t=0$ 에 "처음" 시료가 얼마였든 상관없이) 그 1 마이크로그램의 약 0.5퍼센트이다.

특히 시료가 점점 작아지므로, 매일 붕괴하는 0.5퍼센트는 실제로 붕괴하는 원자의 수가 점점 줄어든다는 것을 뜻한다. 그래서 매일 0.5%가 붕괴하고 $100\times 0.5 = 50$ 이라고 해서, 약 100일 후에 시료의 절반(50%)이 붕괴한다고 말할 수는 없다.