지수적 증가와 감소

끓는 물을 방에 놓아둔 때를 $t=0$ 이라 하고, $t$분 후 물의 온도를 $T(t)$라 하자. 그러면 $T(0)=100$ 이다. 뉴턴의 냉각 법칙을 이용하여 시간 $t$ 에서 물의 온도를 다음과 같이 나타낸다.

$$\begin{aligned} T(t)&=[100-A]e^{Kt}+A \\ \text{여기서 $A$ 는 방의 온도이고, $K$ 는 어떤 상수이다. $T(15)=85$ 이고 $T(30)=73$ 이므로:} \\ 85=T(15)&=[100-A]e^{15K}+A\\ 73=T(30)&=[100-A]e^{30K}+A \\ \text{두 식을 정리하면:} \\ \frac{85-A}{100-A}&=e^{15K}\\ \frac{73-A}{100-A}&=e^{30K}=\left(e^{15K}\right)^2 \\ \text{이 식들을 이용하면:} \\ \left(\frac{85-A}{100-A}\right)^2=\left(e^{15K}\right)^2&=e^{30K}=\frac{73-A}{100-A}\\ \frac{(85-A)^2}{100-A}&=73-A\\ (85-A)^2&=(73-A)(100-A)\\ 85^2-170A+A^2&=7300-173A+A^2\\ 173A-170A&=7300-85^2\\ 3A&=75\\ A&=25 \end{aligned}$$

방의 온도는 25$^\circ$ C이다.