부분적분법 연습문제 — OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번

OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

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$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번우리말 번역

정적분을 계산하세요. 그래프 도구를 사용하여 답을 확인하세요.

${\int }_{1}^{e}\ln ({x}^{2})dx$

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