삼각함수의 적분 연습문제 — OpenStax 2권 · 3.2절 · 57번

OpenStax 2권 · 3.2절 · 57번대학 수준우리말 번역

다음 각 적분 쌍에서 값을 구하기가 더 어려운 것이 어느 쪽인지 판단하세요. 그 이유를 설명하세요.

$\int {\tan }^{350}x{\sec }^{2}x\,dx$ 또는 $\int {\tan }^{350}x\sec x\,dx$

영어 원문 보기

For each pair of integrals, determine which one is more difficult to evaluate. Explain your reasoning.

$\int {\tan }^{350}x{\sec }^{2}x\,dx$ or $\int {\tan }^{350}x\sec x\,dx$

정답·풀이 보기

첫 번째 적분은 단순한 u-치환 유형이므로 두 번째 적분이 더 어렵다.

원본 교재 풀이(영어)

The second integral is more difficult because the first integral is simply a u-substitution type.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.8절 · 24번우리말 번역

$\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 임을 떠올리자.

$\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{$u=\cos x$ 로 치환하면 $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$ 이다.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 적분계산자동 분류