삼각치환

제곱근은 없지만, 치환 $x=\tan\theta$, $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 여전히 사용할 수 있다.

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{  }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$$

$x = \tan\theta$ 이므로, 각 $\theta$ 에 대한 반대쪽 변의 길이가 $x$ 이고 이웃한 변의 길이가 $1$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+1}$ 이고, 이로부터 $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 를 구할 수 있다.