삼각치환

$x=\frac{2}{5}\sec u$ ($0< u<\frac{\pi}{2}$)로 치환하면 $\mathrm{d}x=\frac{2}{5} \sec u\,\tan u\,\mathrm{d}u$ 이고 $\sqrt{25 x^2-4} = \sqrt{4(\sec^2u-1)} = \sqrt{4\tan^2u}=2\tan u$ 이다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{25x^2-4}}{x}\,\mathrm{d}x &=\int \frac{2\tan u}{\frac{2}{5}\sec u}\cdot\frac{2}{5}\sec u\tan u\,\mathrm{d}u \\ &=2\int \tan^2 u\,\mathrm{d}u =2\int \big(\sec^2 u -1\big)\,\mathrm{d}u \\ &= 2\tan u -2u + C \\ &=\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\tfrac{5x}{2} + C \smash{  } \end{aligned}$$

$\tan u$ 를 구하기 위해 각 $u$ 를 갖는 직각삼각형을 그린다. $\sec u =\dfrac{5x}{2}$ 이므로 빗변을 $5x$, 밑변을 2로 놓는다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 높이는 $\sqrt{25x^2-4}$ 이다. 따라서 $\tan u = \dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}} = \dfrac{\sqrt{25x^2-4}}{2}$ 이다.

다른 방법으로, 위 풀이에서 이미 $2\tan u = \sqrt{25x^2-4}$ 임을 보였으므로 $\tan u = \frac{1}{2}\sqrt{25x^2-4}$ 임을 알 수 있다.

검산으로, 답의 도함수를 구하면

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\sqrt{25x^2-4}-2\mathop{\mathrm{arcsec}}\frac{5x}{2} + C\right) &=\frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - 2 \frac{\frac{5}{2}}{\left|\frac{5x}{2}\right|\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}} \\ &= \frac{25 x}{\sqrt{25x^2-4}} - \frac{4}{x\sqrt{25x^2-4}}\qquad\text{$x>0$ 이므로} \\ &= \frac{25 x^2-4}{x\sqrt{25x^2-4}} \\ &= \frac{\sqrt{25 x^2-4}}{x} \end{aligned}$$

이고, 이는 피적분함수와 정확히 같다 ($x>\frac{2}{5}$ 일 때).