부분분수 적분

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수 방법을 사용한다.

• 분자의 차수가 분모의 차수보다 작다.
• 분모를 인수분해해야 한다. 처음 두 항의 비와 마지막 두 항의 비가 같다.

$$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$$

• 이제 부분분수 분해를 구한다.

$$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{양변에 처음의 분모를 곱한다.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{서로 다른 일차식의 곱인 경우는 요령 있는 방법을 쓰기에 가장 좋은 경우이다. 먼저 $x=2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{이번에는 $x=-2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{마지막으로 $x=\frac{1}{2}$ 로 놓자.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$$

• 이제 새로운 꼴로 나타낸 적분의 값을 구할 수 있다.

$$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$$