적분 전략 고르기

(a) 피적분함수를 전개하면 그중 한 부분은 매우 익숙한 원의 일부이다. 따라서 주어진 적분을 둘로 나눈다.

$$\int_0^3(x+1)\sqrt{9-x^2} \ \mathrm{d}x = \int_0^3\sqrt{9-x^2} \ \mathrm{d}x +\int_0^3x\sqrt{9-x^2} \ \mathrm{d}x$$

첫째 항은 $0\le x\le 3$ 에서 $x$축의 위쪽, 곡선 $y=\sqrt{9-x^2}$, 즉 $x^2+y^2=9$ 의 아래쪽에 있는 부분의 넓이를 나타낸다. 이것은 반지름이 $3$ 인 원의 사분원 하나의 넓이이다. 따라서

$$\int_0^3\sqrt{9-x^2} \ \mathrm{d}x =\frac{1}{4}(\pi \cdot 3^2) = \frac{9}{4}\pi$$

둘째 항은 $u=9-x^2$, $\mathrm{d}u= -2x\,\mathrm{d}x$ 로 치환한다. $u(0)=9$ 이고 $u(3)=0$ 임에 주목한다. 따라서

$$\begin{aligned} \int_0^3x\sqrt{9-x^2} \ \mathrm{d}x = \int_9^0\sqrt{u} \ \frac{\mathrm{d}u}{-2} =-\frac{1}{2}\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_9^0 =-\frac{1}{2}\left[-\frac{27}{3/2}\right] =9 \end{aligned}$$

모두 합하면

$$\int_0^3(x+1)\sqrt{9-x^2} \ \mathrm{d}x = \frac{9}{4}\pi + 9$$

이다.

(b) 피적분함수는 $N(x)/D(x)$ 꼴이며 $D(x)$ 는 이미 인수분해되어 있고 $N(x)$ 의 차수가 더 낮다. 곧바로 부분분수 분해를 찾는다.

$$\frac{4x+8}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+4}.$$

양변에 분모를 곱하면

$$\begin{aligned} 4x+8 &= A(x^2+4) + (Bx+C)(x-2) \tag{$*$} \end{aligned}$$

이다. $x=2$ 를 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} 8 +8 = A(4 + 4) + 0 \implies 16 =8A \implies A = 2 \end{aligned}$$

$(*)$ 에 $A=2$ 를 대입하면

$$\begin{aligned} &&4x+8 &= A(x^2+4) + (Bx+C)(x-2) \\ &\implies & -2x^2+4 x &=(x-2)(Bx + C) \\ &\implies\qquad & (-2x)(x-2)&=(Bx + C)(x-2) \\ & \implies& B& =-2,~C=0 \end{aligned}$$

이다. 따라서 $A=2$, $B=-2$, $C=0$ 임을 알았다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int\frac{4x+8}{(x-2)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x &= \int \bigg( \frac{{red}2}{x-2} {red}- \frac{{red}2x}{x^2+4} \bigg) \,\mathrm{d}x \\ &= 2 \log |x-2| - \log (x^2 + 4) + C \end{aligned}$$

이다. 여기서 둘째 적분은 부정적분을 짐작하는 것만으로 구했다. 다른 방법으로, $u=x^2+4$, $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ 로 치환할 수도 있다.

(c) 주어진 적분은 이상적분이지만, 그것은 적분의 위끝과 아래끝이 무한대이기 때문일 뿐이다. (피적분함수는 모든 실수에서 연속이다.) 따라서 극한을 두 번 취해야 한다. 그에 앞서 먼저 부정적분을 구하자. $u=e^x$, $\mathrm{d}u=e^x~\mathrm{d}x$ 로 치환하려 한다. 즉 $\frac{1}{u}~\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ 이다.

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{e^x+e^{-x}}~\mathrm{d}x&=\int \frac{1}{u(u+\frac{1}{u})}~\mathrm{d}u = \int\frac{1}{u^2+1} = \arctan u+C \\&=\arctan(e^x)+C \\ \text{이제 적분의 위끝과 아래끝을 다룰 수 있다.} \\ \int _{ -\infty}^\infty\frac{1}{e^x+e^{-x}}~\mathrm{d}x&= \int _{ -\infty}^0\frac{1}{e^x+e^{-x}}~\mathrm{d}x+ \int _{ 0}^\infty\frac{1}{e^x+e^{-x}}~\mathrm{d}x\\&= \lim_{a \to -\infty}\left[\int_{a}^0\frac{1}{e^x+e^{-x}}~\mathrm{d}x\right]+ \lim_{b \to \infty}\left[\int_{ 0}^b\frac{1}{e^x+e^{-x}}~\mathrm{d}x\right]\\&= \lim_{a \to -\infty}\big[\arctan(e^x)\big]_a^0+ \lim_{b \to \infty}\big[\arctan(e^x)\big]_0^b\\&= \lim_{a \to -\infty}\big[\arctan(e^0)-\arctan(e^a)\big]+ \lim_{b \to \infty}\big[\arctan(e^b)-\arctan(e^0)\big]\\&= \lim_{a \to -\infty}\big[-\arctan(e^a)\big]+ \lim_{b \to \infty}\big[\arctan(e^b)\big]\\ &=-\arctan(0)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$