적분 전략 고르기

모르는 지수 때문에 겁이 난다면, 더 쉬운 경우에는 이것이 어떤 모양인지 생각해 보자. $n$ 이 0 이상의 정수이면 피적분함수는 다항식이다. 그리 무섭지 않다. 다만 전개하기가 조금 복잡하다. (매우 편리한 이항정리를 이용하여 전개할 수 있다.) 더 쉬운 방법을 생각해 보자.

이항식 $x+a$ 대신 문자 $x$ 만 $n$ 제곱되어 있다면 더 좋을 것이다. 그러므로 치환 $u=x+a$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 를 이용하자. 이때 $x=u-a$ 임에 주의한다.

$$\begin{aligned} \int x(x+a)^n~\mathrm{d}x&=\int (u-a)u^n~\mathrm{d}x = \int \big(u^{n+1}-au^n\big)~\mathrm{d}u \\ \text{이제 $n\neq -1$ 이고 $n \neq -2$ 이면 거듭제곱 법칙을 그대로 쓸 수 있다:} \\ &=\frac{u^{(n+2)}}{n+2}-a\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\\ &=\frac{(x+a)^{(n+2)}}{n+2}-a\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C \\ \text{$n=-1$ 이면} \\ \int x(x+a)^n~\mathrm{d}x&=\int \big(u^{n+1}-au^n\big)~\mathrm{d}u =\int \left(1 - \frac{a}{u}\right)~\mathrm{d}u \\&= u - a\log|u|+C = (x+a)-a\log|x+a|+C \\ \text{$n=-2$ 이면} \\ \int x(x+a)^n~\mathrm{d}x&=\int \big(u^{n+1}-au^n\big)~\mathrm{d}u=\int\left( \frac{1}{u} - au^{-2}\right)~\mathrm{d}u \\& = \log|u| + \frac{a}{u}+C= \log|x+a| + \frac{a}{x+a}+C \\ \text{종합하면,} \\ \int x(x+a)^n~\mathrm{d}x&=\begin{cases} \frac{(x+a)^{(n+2)}}{n+2}-a\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}+C&\text{ 조건: } n \neq -1,-2\\ (x+a)-a\log|a+x|+C & \text{ 조건: } n=-1\\ \log|x+a| +\frac{a}{x+a}+C& \text{ 조건: } n=-2 \end{cases} \end{aligned}$$