적분 전략 고르기

(a) 울프럼알파로 구하면 $$\frac{x^3 + x + 1}{x^4 - 1} = -\frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x+1)} + \frac{3}{4(x-1)}\,.$$ 이다. 그러면 기본적인 부정적분을 이용하여 $$\begin{aligned}\int \frac{x^3 + x + 1}{x^4 - 1} \, dx &= \int -\frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x+1)} + \frac{3}{4(x-1)} \ dx \\ &= \int -\frac{1}{2(x^2+1)} \ dx + \int \frac{1}{4(x+1)} \ dx + int \frac{3}{4(x-1)} \ dx \\ &= -\frac{1}{2} \arctan(x) + \frac{1}{4} \ln|x+1| + \frac{3}{4} \ln|x-1| + C\end{aligned}$$ 울프럼알파에 $\frac{x^3 + x + 1}{x^4 - 1}$ 의 적분을 직접 구하게 하면 $$\int \frac{x^3 + x + 1}{x^4 - 1} \, dx = \frac{1}{4} \left( 3\log(1-x) + \log(x+1) - 2\arctan{x} \right) + C\,.$$ 이다. $\frac{1}{4}$ 을 분배하여 정리하고, 울프럼알파는 로그가 포함된 적분에서 절댓값을 쓰지 않으며 $|x-1| = |1-x|$ 임에 주목하면, 두 결과가 같음을 알 수 있다. (b) 울프럼알파로 구하면 $$\frac{x^5 + x^2 + 3}{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} = x^2 + 6x + 25 + \frac{255}{2(x-3)} - \frac{39}{x-2} + \frac{5}{2(x-1)}\,.$$ 이다. 그러면 기본적인 부정적분을 이용하여 $$\begin{aligned}\int \frac{x^5 + x^2 + 3}{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} \, dx &= \int x^2 + 6x + 25 + \frac{255}{2(x-3)} - \frac{39}{x-2} + \frac{5}{2(x-1)} \ dx \\ &= \int x^2 \ dx + \int 6x \ dx + \int 25 \ dx + \int \frac{255}{2(x-3)} \ dx - \int \frac{39}{x-2} \ dx + \int \frac{5}{2(x-1)} \ dx \\ &= \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 25x + \frac{255}{2} \ln|x-3| - 39 \ln|x-2| + \frac{5}{2} \ln|x-1| + C\end{aligned}\,.$$ 울프럼알파에 $\frac{x^5 + x^2 + 3}{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}$ 의 적분을 직접 구하게 하면 (a)에서 언급한 점을 제외하고 같은 결과가 나온다. (c) 울프럼알파로 구하면 $$\frac{x^2 - x - 1}{(x-3)^3} = \frac{1}{x-3} + \frac{5}{(x-3)^2} + \frac{5}{(x-3)^3}\,.$$ 이다. 그러면 기본적인 부정적분을 이용하여 $$\begin{aligned}\int \frac{x^2 - x - 1}{(x-3)^3} \, dx &= \int \frac{1}{x-3} + \frac{5}{(x-3)^2} + \frac{5}{(x-3)^3} \ dx \\ &= \int \frac{1}{x-3} \ dx + \int \frac{5}{(x-3)^2} \ dx + \int \frac{5}{(x-3)^3} \ dx \\ &= \ln|x-3| + \int 5(x-3)^{-2} \ dx + \int 5(x-3)^{-3} \ dx \\ &= \ln|x-3| - \frac{5}{x-3} - \frac{5}{2(x-3)^2} + C\end{aligned}\,.$$ 울프럼알파에 $\frac{x^2 - x - 1}{(x-3)^3}$ 의 적분을 직접 구하게 하면 $$\int \frac{x^2 - x - 1}{(x-3)^3} \, dx = \log(x-3) - \frac{5(2x-5)}{2(x-3)^2} + C\,.$$ 이다. 로그 부분은 같고, $$-\frac{5}{x-3} - \frac{5}{2(x-3)^2} = -\frac{5[2(x-3) + 1]}{2(x-3)^2} = -\frac{5(2x-5)}{2(x-3)^2}\,,$$ 이므로 나머지 부분도 일치함을 알 수 있다.