적분 전략 고르기

(a) 피적분함수에 $e^x$ 대신 $x$ 가 들어 있다면 유리함수이므로 부분분수 분해를 적용하기에 알맞다. 그러므로 치환 $u=e^x$, $\mathrm{d}u=e^x\,\mathrm{d}x$ 로 시작하자:

$$\begin{aligned} \int \frac{e^x}{(e^x+1)(e^x-3)} \mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}u}{(u+1)(u-3)} \end{aligned}$$

이제 부분분수 분해 절차에 따라, 먼저 다음과 같이 나타낸다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{(u+1)(u-3)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u-3} \end{aligned}$$

$A$ 와 $B$ 를 요령 있게 구하기 위해, 양변에 분모를 곱한다.

$$\begin{aligned} 1 = A(u-3) + B(u+1) \end{aligned}$$

그리고 각각 $u=-1$ 과 $u=3$ 을 대입하여 $A$ 와 $B$ 를 구한다.

$$\begin{aligned} 1 = A(-1-3) + B(-1+1) &\iff A=-\frac{1}{4} \\ 1 = A(3-3) + B(3+1) &\iff B=\frac{1}{4} \\ \end{aligned}$$

마지막으로 적분을 계산할 수 있다:

$$\begin{aligned} \int \frac{e^x}{(e^x+1)(e^x-3)} \mathrm{d}x &= \int \frac{\mathrm{d}u}{(u+1)(u-3)} = \int \Big(\frac{ -1/4}{u+1} + \frac{ 1/4}{u-3}\Big)\mathrm{d}u \\ &=-\frac{1}{4}\log|u+1| +\frac{1}{4}\log|u-3| + C \\ &=-\frac{1}{4}\log|e^x+1| +\frac{1}{4}\log|e^x-3| + C \end{aligned}$$

(b) 제곱근 안의 식은

$$\begin{aligned} 12+4x-x^2 =12-(x-2)^2 +4 =16-(x-2)^2 \end{aligned}$$

이다. 음, 분자는 $x^2-4x+4=(x-2)^2$ 이다. 그러므로 $u=x-2$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 로 치환하여 적분을 좀 더 간단한 꼴로 만들자. $x=2$ 일 때 $u=0$ 이고, $x=4$ 일 때 $u=2$ 이므로 다음을 얻는다:

$$\begin{aligned} \int_{x=2}^{x=4} \frac{x^2-4x+4}{\sqrt{12+4x-x^2}} \mathrm{d}x =\int_{u=0}^{u=2} \frac{u^2}{\sqrt{16-u^2}} \mathrm{d}u \end{aligned}$$

이것은 삼각치환 $u=4\sin\theta$, $\mathrm{d}u = 4\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta$ 를 쓰기에 안성맞춤이다. $u=0$ 일 때 $4\sin\theta = 0$ 이므로 $\theta=0$ 이다. $u=2$ 일 때 $4\sin\theta = 2$ 이므로 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} \int_{u=0}^{u=2} \frac{u^2}{\sqrt{16-u^2}} \mathrm{d}u &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/6} \frac{16\sin^2\theta}{\sqrt{16-16\sin^2\theta}} 4\cos\theta\mathrm{d}\theta \\ &=16\int_{0}^{\pi/6} \sin^2\theta\ \mathrm{d}\theta \\ &=8\int_{0}^{\pi/6} \big(1-\cos(2\theta)\big)\ \mathrm{d}\theta \\ &=8 \bigg[\theta-\frac{1}{2}\sin(2\theta)\bigg]_{0}^{\pi/6} =8 \bigg[\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \bigg] \\ & = \frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3} \end{aligned}$$