수치적분 연습문제 — OpenStax 2권 · 3.6절 · 43번

OpenStax 2권 · 3.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${\int }_{1}^{5}(3{x}^{2}-2x)dx=100$ 이 주어졌을 때, 16등분한 사다리꼴 공식을 사용하여 이 적분의 값을 어림하고 절대오차를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given ${\int }_{1}^{5}(3{x}^{2}-2x)dx=100,$ approximate the value of this integral using the trapezoidal rule with 16 subdivisions and determine the absolute error.

정답·풀이 보기

${T}_{16}=100.125$ ; 절대오차 = 0.125

원본 교재 풀이(영어)

${T}_{16}=100.125;$ absolute error = 0.125

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 5.6절 · 6번우리말 번역

알려지지 않은 함수 $f(x)$ 에 대해 다음 정보가 주어져 있다.

$f$ 는 $[3,6]$ 에서 연속이다.
$f$ 는 $[3,6]$ 에서 항상 증가하거나 항상 감소한다.
$f$ 는 구간 $[3,6]$ 전체에서 오목성이 같다.
$\int_3^6 f(x) \, dx$ 의 근삿값으로 $L_4 = 7.23$ , $R_4 = 6.75$ , $M_4 = 7.05$ 이다.

(a) $f$ 는 $[3,6]$ 에서 증가하나요, 감소하나요? 어떤 자료로 알 수 있는지 설명하세요. (b) $f$ 는 $[3,6]$ 에서 아래로 볼록한가요, 위로 볼록한가요? 그 이유를 설명하세요. (c) 주어진 정보를 바탕으로 $\int_3^6 f(x) \, dx$ 에 대한 가능한 한 가장 좋은 추정값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $L_4 = 7.23 > 6.75 = R_4$ 이고 함수가 항상 증가하거나 항상 감소한다는 것을 알고 있으므로, 왼쪽 끝점 방법의 값이 오른쪽 끝점 방법의 값보다 크려면 $f$ 는 항상 감소해야 한다. (b) 주어진 자료로부터 다음을 알 수 있다. $T_4 = \frac{L_4 + R_4}{2} = \frac{7.23 + 6.75}{2} = 6.99\,.$ $M_4 = 7.05$ 이므로 $R_4 < T_4 < M_4 < L_4\,.$ 특히 이 함수는 구간에서 항상 감소할 뿐만 아니라 위로 볼록하다는 것도 알 수 있다. 오목성이 일정하므로, 사다리꼴 공식이 참값보다 작게 추정하면 중점 공식은 참값보다 크게 추정한다(또는 그 반대이다). $T_4 < M_4$ 이므로 $T_4 < \int_3^6 f(x) \, dx < M_4$ 이고, $f$ 는 이 구간에서 위로 볼록해야 한다. (c) 정적분에 대한 가장 좋은 추정값을 구하기 위해 심프슨 공식을 사용한다. 즉, $\begin{aligned}\int_3^6 f(x) \, dx &\approx S_8 \\ &= \frac{2M_4 + T_4}{3} \\ &= \frac{2 \cdot 7.05 + 6.99}{3} \\ &=7.03\end{aligned}\,.$

이 문제로 이어서 풀기

# 수치적분계산자동 분류