이상적분

“이상적분이 되는 원인”이 두 가지 있다. 바로 (무한대인) 두 적분 구간의 끝이다. 따라서 적분을 두 부분으로 나눈다.

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^0 \cos x~\mathrm{d}x+\int_{0}^\infty \cos x~\mathrm{d}x\\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\int_{-a}^0 \cos x~\mathrm{d}x\right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\int_{0}^b \cos x~\mathrm{d}x\right] \\ \text{이 정도는 부정적분을 쉽게 구할 수 있다.} \\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\sin 0 - \sin(- a) \right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\sin b - \sin 0 \right]\\ &=\text{존재하지 않는다} \end{aligned}$$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다. (여기서는 두 극한이 모두 존재하지 않지만, 둘 중 하나만 존재하지 않더라도 이 적분은 발산한다.)