변수분리형 미분방정식

(a) $x=0$ 을 대입하면

$$\begin{aligned} f(0)=3+\int_0^0\big(f(t)-1\big)\big(f(t)-2\big)\ \mathrm{d}t= 3 \end{aligned}$$

(b) 미적분의 기본정리 제1부에 의해

$$\begin{aligned} f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\big(f(t)-1\big)\big(f(t)-2\big)\ \mathrm{d}t =\big(f(x)-1\big)\big(f(x)-2\big) \end{aligned}$$

따라서 $y=f(x)$ 는 미분방정식 $y'=(y-1)(y-2)$ 를 만족시킨다.

(c) $y\ne 1,2$ 이면,

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=(y-1)(y-2) \\ \frac{\mathrm{d}y}{(y-1)(y-2)}&=\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{(y-1)(y-2)}&=\int\mathrm{d}x \\ \text{부분분수 방법을 이용하면,} \\ \int\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}\right)\mathrm{d}y&=\int \mathrm{d}x \\ \log|y-2|-\log|y-1|&=x+C\\ \log\left|\frac{y-2}{y-1}\right|&=x+C \\ \text{ 모든 $y\ge 2$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(y-1)(y-2)>0$ 임을 알 수 있다. 즉, $f(x)>2$ 인 모든 $x$ 에서 $f(x)$ 는 증가한다. $f(0)=3$ 이므로 모든 $x\ge 0$ 에 대해 $f(x)$ 는 증가하고, 모든 $x\ge 0$ 에 대해 $f(x)\ge 3$ 이다. 따라서 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ \log\frac{f(x)-2}{f(x)-1}&=x+C\\ \frac{f(x)-2}{f(x)-1}&=e^Ce^x \\ \text{ $x=0$ 일 때 $\frac{f(x)-2}{f(x)-1}=\frac{1}{2}$ 이므로 $e^C=\frac{1}{2}$ 이다.} \\ \frac{f(x)-2}{f(x)-1}&=\frac{1}{2} e^x\\ 2f(x)-4&=[f(x)-1]e^x\\ [2-e^x]f(x)&=4-e^x \\ f(x)&=\frac{4-e^x}{2-e^x} \end{aligned}$$