미분방정식의 기초

(a) $\frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5$ 이고 $T(0)=105$ 이므로 $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105} = -\frac{1}{15}(105) + 5 = -7 + 5 = -2$ 이다. $T(0) = 105$ 라는 사실은 시각 $t = 0$ 에서 커피의 온도가 $T = 105$ 화씨도임을 뜻하고, $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105} = -2$ 는 $T = 105$ 인 순간(즉 $t = 0$ 일 때) 커피의 온도가 분당 화씨 $-2$도의 순간변화율로 감소하고 있음을 뜻한다. (b) $t = 0$ 에서 $T = 105$ 이고 $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105}$ 가 음수이므로 $t=0$ 에서 $T$ 는 감소한다. (c) 주어진 정보와 함께 일차 근사 $T(1) \approx T(0) + \frac{dT}{dt}\vert_{t=0} (1-0)$ 을 이용하면 $$T(1) \approx 105 + (-2)(1) = 103$$ 화씨도이다. (d) $\frac{dT}{dt}$ 는 $T$ 에 대한 일차함수이고 기울기가 $-\frac{1}{15}$, 세로축 절편이 $(0,5)$ 이므로 그래프는 아래와 같다. 특히 $\frac{dT}{dt}\vert_{T = 75} = 0$ 임에 주목한다. (e) $T < 75$ 일 때 $\frac{dT}{dt} > 0$ 이므로 이 $T$ 값들에서 $T$ 는 증가한다. $T > 75$ 일 때 $\frac{dT}{dt} < 0$ 이므로 이 $T$ 값들에서 $T$ 는 감소한다. (f) 앞의 문제에서 화씨 $75$도가 $T$ 의 변화 양상을 바꾸는 경계가 되는 온도임을 확인했다. 화씨 $75$도가 방의 온도라고 생각할 수 있는 이유는 여러 가지이다. 커피의 온도가 방의 온도($75$)보다 높으면 온도가 내려가 방의 온도에 가까워지고, 방의 온도보다 낮으면 온도가 올라가 방의 온도에 가까워진다. 또 커피의 온도가 $75$(방의 온도와 같은 값)이면 변화율이 $0$ 이므로 커피의 온도는 변하지 않는다. (g) $T(t) = 75 + 30e^{-t/15}$ 가 초깃값 $T(0) = 105$ 인 이 미분방정식의 해임을 보이고, 충분히 오랜 시간이 지나면 이 해가 어떻게 되는지 구한다. $T(t) = 75 + 30e^{-t/15}$ 라고 하면 $$\frac{dT}{dt} = 30e^{-t/15} \left(-\frac{1}{15} \right) = -2e^{-t/15}\,$$ 이다. 또한 $$-\frac{1}{15}T + 5 = -\frac{1}{15}(75 + 30e^{-t/15}) + 5 = -5 - 2e^{-t/15} + 5 = -2e^{-t/15}\,$$ 이다. 위의 두 식으로부터 $$\frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5$$ 에 $T$ 대신 $T(t) = 75 + 30e^{-t/15}$ 를 대입하면 등식이 성립함을 알 수 있으므로 이 함수는 주어진 미분방정식의 해이다. 또한 $T(0) = 75 + 30e^0 = 75 + 30 = 105$ 이므로 이 함수는 초기 조건도 만족한다. 마지막으로 $t \to \infty$ 일 때 $e^{-t/15} \to 0$ 이므로 $t \to \infty$ 일 때 $T(t) = 75 + 30e^{-t/15} \to 75$ 이다. 이는 예상대로 시간이 한없이 지날수록 해 함수의 값이 방의 온도에 가까워짐을 보여 준다.