변수분리형 미분방정식

(a) $\frac{dh}{dt}$ 가 물의 높이의 제곱근에 비례하므로 $$\frac{dh}{dt} = k \sqrt{h}\,$$ 이다. (b) 한 탱크는 $k=-1$ 이고 다른 탱크는 $k=-10$ 이면, $k = -10$ 인 탱크에서 물이 훨씬 빠르게 빠져나가며, 이는 그 탱크의 구멍이 더 크다는 것에 해당할 것이다. (c) 물의 깊이가 $100$ 인치일 때 높이가 분당 $20$ 인치씩 줄어들므로 $\frac{dh}{dt}\vert_{h=100} = -20$ 이다. 이 정보를 미분방정식에 적용하면 $$-20 = k \sqrt{100}$$ 이므로 $k = -2$ 이다. (d) 초기 조건 $h(0) = 100$ 인 미분방정식 $\frac{dh}{dt} = -2 \sqrt{h}$ 를 풀기 위해, 먼저 변수를 분리하여 $$\frac{1}{\sqrt{h}} \frac{dh}{dt} = -2\,$$ 로 쓴다. 좌변의 분수를 고쳐 쓰고 $t$ 에 대해 적분하면 $$\int h^{-1/2} \, dh = \int -2 \, dt$$ 이므로 $$2h^{1/2} = -2t + C\,,$$ 즉 $h = \left( C - t \right)^2$ 이다. $h(0) = 100$ 이므로 $100 = C^2$ 이고, 따라서 $C = 10$ 이다. 이로부터 초깃값 문제의 해는 $$h(t) = \left(10 - t \right)^2\,$$ 이다. 이 함수의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이며, $y$절편은 $(0,100)$ 이고 $(10,0)$ 에서 중근을 갖는다. (e) $h(10) = 0$ 이므로 탱크가 비는 데 $10$ 분이 걸린다. (f) 아니요, 이 해는 모든 시간 $t$ 에 대해 성립하지 않는다. 문제의 물리적 제약에 따르면 $t = 10$ 에서 탱크가 비므로 이 해는 $0 < t < 10$ 일 때만 성립한다.