변수분리형 미분방정식

(1) (2) $\ln(1) = 0$ 이므로 유일한 평형해는 $P = 3$ 이다. (참고: $\ln(0)$ 은 정의되지 않으므로 이 미분방정식은 $P = 0$ 에서 정의되지 않는다.) (a)에 그려진 기울기장으로부터 평형해 $P = 3$ 은 안정하다. (3) $\frac{dP}{dt} = -P\ln\left(\frac P3\right)$ 이고 $P(0) = 1$ 인 초깃값 문제를 풀기 위해 변수분리를 이용한다. $$\frac{1}{P\ln\left(\frac P3\right)}\frac{dP}{dt} = -1$$ 이므로 $$\int \frac{1}{P\ln\left(\frac P3\right)} \, dP = - \int 1 \, dt$$ 이다. 좌변에서 치환 $u = \ln (P/3)$ 을 이용하면 $du = \frac{3}{P} \cdot \frac{1}{3} \, dP$ 이므로, 위의 식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. $$\int \frac{du}{u} = - \int 1 \, dt\,.$$ 따라서 $$\ln |u| = -t + C\,,$$ 이므로 $|u| = e^{C-t}$, 즉 $u = Ke^{-t}$ 이다. 다음으로 $u = \ln \left(\frac P3\right)$ 임을 떠올리면 $$\frac{P}{3} = e^{Ke^{-t}}$$ 이고 $P = 3e^{Ke^{-t}}$ 이다. 초기 조건을 적용하면 $1 = 3e^K$ 이므로 $K = \ln \left(\frac{1}{3} \right)$ 이고, 따라서 $$P(t) = 3e^{\ln \left(\frac{1}{3} \right) e^{-t}}\,.$$ 이 함수의 그래프는 (a)의 위 그림에 파란색으로 나타나 있으며, $e^{-t} \to 0$ 이므로 $t \to \infty$ 일 때 $P(t) \to 3$ 임을 (그래프와 식 모두로) 알 수 있다. (4) 초기 조건을 $P(0) = 6$ 으로 바꾸면, (c)에서 $P = 3e^{Ke^{-t}}$ 을 얻은 부분까지의 풀이를 그대로 쓸 수 있다. 이 초기 조건을 적용하면 $6 = 3e^K$ 이므로 $K = \ln \left(2 \right)$ 이고, 따라서 $$P(t) = 3e^{\ln \left( 2 \right) e^{-t}}\,.$$ 이 함수의 그래프는 (a)의 위 그림에 빨간색으로 나타나 있으며, $e^{-t} \to 0$ 이므로 $t \to \infty$ 일 때 $P(t) \to 3$ 임을 (그래프와 식 모두로) 알 수 있다. (5) (c)와 (d)의 풀이는 $P(0) > 0$ 인 어떤 초기 조건에서든 $t$ 가 한없이 커질 때 $P$ 가 장기적으로 $3$ 에 가까워짐을 보여 준다. 이는 기울기장을 바탕으로 처음에 관찰한 것과 일치한다.