로지스틱 방정식

(a) 이 로지스틱 방정식의 평형해는 $p = 0$ 과 $p = 1$ 이다. $p = 1$ 은 환경수용력이므로 안정 평형이다. 따라서 $p(0) > 0$ 이면 $t \to \infty$ 일 때 $p(t) \to 1$ 이다. (b) 로지스틱 방정식 $\frac{dP}{dt} = kP(N-P), \ P(0) = P_0$ 의 일반해는 다음과 같음을 알고 있다. $$P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right) e^{-kNt} + 1}\,.$$ 이 문제에서는 $k = 0.2$, $N = 1$, $p(0) = 0.1$ 이므로 해는 $$p(t) = \frac{1}{\left(\frac{1-0.1}{0.1}\right) e^{-0.2t} + 1} = \frac{1}{9e^{-0.2t} + 1}\,$$ 이다. (c) $p$ 는 그 도함수 $p'$ 이 가장 클 때 가장 빠르게 변한다. 처음의 미분방정식을 다시 보면 $$p' = 0.2p(1-p)$$ 이고, 이는 $p'$ 이 $p$ 에 대한 이차함수임을 보여 준다. 이 이차함수는 $p = 0$ 과 $p = 1$ 에서 0이므로, 위로 볼록한 이 이차함수의 꼭짓점은 $p = \frac{1}{2}$ 에 있고, $p$ 가 이 값일 때 $p$ 의 변화율이 가장 크다. 따라서 개체 수가 가장 빠르게 증가하는 시점을 찾기 위해 방정식 $p(t) = 0.5$ 를 푼다. $$0.5 = \frac{1}{9e^{-0.2t} + 1}$$ 이므로 $$9e^{-0.2t} + 1 = 2$$ 이고 $e^{-0.2t} = 1/9$ 이다. 따라서 $t = -5 \ln(1/9) \approx 10.986$일이다. (d) $p(t)$ 는 소문을 들은 사람들의 비율을 나타내므로 방정식 $p(t) = 0.8$ 을 풀어야 한다. 그러면 $$0.8 = \frac{1}{9e^{-0.2t} + 1}$$ 이므로 $$9e^{-0.2t} + 1 = 1.25$$ 이고 $e^{-0.2t} = 0.25/9$ 이다. 따라서 $t = -5 \ln(0.25/9) \approx 17.19$일이다.