비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5장 복습 · 7번

OpenStax 2권 · 5장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

수열이 유계인지, 단조인지, 그리고 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 극한을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n+1}}$

영어 원문 보기

Is the sequence bounded, monotone, and convergent or divergent? If it is convergent, find the limit.

${a}_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\sqrt{n+1}}$

정답·풀이 보기

유계, 단조, 수렴, $0$

원본 교재 풀이(영어)

bounded, monotone, convergent, $0$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 49번우리말 번역

급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-a_n)$ 이 수렴한다고 하자. 단, $n=0,1,2,3,\cdots$ 에 대해 $a_n>0$ 이다. 급수 $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n a_n$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

발산 판정법에 의해, $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1-a_n)$ 이 수렴한다는 사실로부터 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-a_n)=0$ 이 보장되고, 이는 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=1$ 과 같다. 따라서 발산 판정법을 한 번 더 적용하면,

$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty}2^n a_n = +\infty \end{aligned}$

이므로 $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n a_n$ 도 발산한다.

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