수열의 극한값 계산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번

OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번우리말 풀이

다음 수열의 극한값을 구하거나 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한값을 구하세요.

$a_n=(2n)^{1/n}-n^{1/n}$

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

${a}_{n}={(2n)}^{1/n}-{n}^{1/n}$

풀이 보기

$(2n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot n^{1/n}$ 으로 나누면, 알려진 극한 $n^{1/n}\to1$ 로 계산할 수 있어요.

1
식을 풀어 써요. 지수법칙으로 $(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n}$ 이니까 $a_n=2^{1/n}\,n^{1/n}-n^{1/n}=n^{1/n}\left(2^{1/n}-1\right)$
2
각 부분의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 일 때 $\dfrac1n\to0$ 이므로 $2^{1/n}\to2^0=1$ 이에요. 또 $\ln n^{1/n}=\dfrac{\ln n}{n}\to0$ 이라(로그는 $n$ 보다 훨씬 느리게 커져요) $n^{1/n}\to e^0=1$ 이에요.
3
극한의 곱의 성질을 써요. $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(2^{1/n}-1\right)=1\cdot(1-1)=0$ (다르게 보면 $(2n)^{1/n}\to1$ , $n^{1/n}\to1$ 이니 차가 $0$ 이에요.)

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

자주 하는 실수

$n^{1/n}$ 에서 $n\to\infty$ 이니 $\infty^0$ 꼴이라 "발산"이라고 단정하는 실수가 있어요(실제로는 1에 수렴).

원본 교재 풀이(영어)

${n}^{1/n}\to 1$ and ${2}^{1/n}\to 1,$ so ${a}_{n}\to 0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번

$\lim_{n\to\infty}a_n=1$ , $\lim_{n\to\infty}b_n=-1$ 이고 모든 $n$ 에서 $0<-b_n<a_n$ 이라고 합시다. 다음 각 극한을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 부족하다고 답하세요.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)$

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$7$

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