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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번우리말 번역

뉴턴의 방법은 초기 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의함으로써 방정식 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법입니다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대하여 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면, 해 xx 의 정확한 식을 구하고, 이어서 xx 를 소수 넷째 자리까지 정확하게 구한 뒤 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=ln⁡x−1,f(x)=\ln x-1, x0=2{x}_{0}=2

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=ln⁡x−1,f(x)=\ln x-1, x0=2{x}_{0}=2

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정답·풀이 보기

xn+1=xn−xn(ln⁡(xn)−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-{x}_{n}(\ln ({x}_{n})-1); x=e,x=e, x≈2.7183,x\approx 2.7183, n=5n=5

원본 교재 풀이(영어)

xn+1=xn−xn(ln⁡(xn)−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-{x}_{n}(\ln ({x}_{n})-1); x=e,x=e, x≈2.7183,x\approx 2.7183, n=5n=5

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.1절 · 27번우리말 번역

다음 각 수열의 극한을 구하세요. 적절한 경우 로피탈의 정리를 이용하세요.

n22n\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}

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# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
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