수열의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번우리말 풀이

[계산기 사용] $0$ 과 $1$ 사이의 수 $x$ 의 이진 표현 $x=0.b_1b_2b_3\ldots$ 은 다음과 같이 정할 수 있습니다. $x<1/2$ 이면 $b_1=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_1=1$ 로 둡니다. $x_1=2x-b_1$ 로 둡니다. $x_1<1/2$ 이면 $b_2=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_2=1$ 로 둡니다. $x_2=2x_1-b_2$ 로 두고, 일반적으로 $x_n=2x_{n-1}-b_n$ 이며 $x_n<1/2$ 이면 $b_{n-1}=0$ , $1/2\le x_n<1$ 이면 $b_{n-1}=1$ 입니다. $1/3$ 의 이진 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The binary representation $x=0.{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}...$ of a number $x$ between $0$ and $1$ can be defined as follows. Let ${b}_{1}=0$ if $x<1/2$ and ${b}_{1}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{1}=2x-{b}_{1}.$ Let ${b}_{2}=0$ if ${x}_{1}<1/2$ and ${b}_{2}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{2}=2{x}_{1}-{b}_{2}$ and in general, ${x}_{n}=2{x}_{n-1}-{b}_{n}$ and ${b}_{n-1}=0$ if ${x}_{n}<1/2$ and ${b}_{n-1}=1$ if $1/2\le {x}_{n}<1.$ Find the binary expansion of $1/3.$

풀이 보기

"두 배 해서 1이 넘으면 1을 적고 1을 빼는" 과정을 되풀이하면 같은 값이 다시 나타나 규칙이 반복돼요.

1
규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.
2
$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$
3
다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$
4
반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.
5
검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.

답

$\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ ( $01$ 이 반복)

자주 하는 실수

$x_1$ 을 계산할 때 $b_1$ 을 빼는 것을 잊어 $x_1=\tfrac23$ 대신 다른 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${b}_{1}=0,$ ${x}_{1}=2/3,$ ${b}_{2}=1,$ ${x}_{2}=4/3-1=1/3,$ so the pattern repeats, and $1/3=0.010101\ldots .$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열에 대하여, $n$ 번째 항 $a_n$ 을 $a_n=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

$a_1=2$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}=2a_n$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f(n)=2^{n}$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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