급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번우리말 번역

다음 각 급수에 대해 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}$

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}$

정답·풀이 보기

${S}_{1}=1/3,$ ${S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,$ ${S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1$ 이다. 일반적으로 ${S}_{k}>k/3$ 이다. 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${S}_{1}=1/3,$ ${S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,$ ${S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1.$ In general ${S}_{k}>k/3.$ Series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(1)-f(2)$