등비급수 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$1+\frac{\pi }{{e}^{2}}+\frac{{\pi }^{2}}{{e}^{4}}+\frac{{\pi }^{3}}{{e}^{6}}+\frac{{\pi }^{4}}{{e}^{8}}+\cdots$

풀이 보기

이웃한 항의 비가 일정하면 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수렴해요.

1
규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$ , 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.
2
공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$ , $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.
3
결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

답

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자주 하는 실수

$\pi>e$ 라서 $\pi/e^2$ 도 1보다 크다고 착각하는 실수가 있어요(분모가 $e^2$ 임에 주의).

원본 교재 풀이(영어)

convergent geometric series, $r=\pi /{e}^{2}<1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번

[계산기 사용] 환자 몸속의 약의 양이 매시간 일정한 비율 $r<1$ 배로 줄어든다고 합시다. 새 약은 $N$ 시간마다 투여합니다. 투여량 $d$ 와 비율 $r$ 로, 각 $n$ 에 대해 $n$ 시간 후 환자 몸속의 약의 양 $A(n)$ 을 나타내는 식을 구하세요. (힌트: $n=mN+k$ ( $0\le k<N$ ) 로 쓰고, 서로 다른 투여분을 모두 더하세요.)

다 풀었으면 정답 확인

$A(n)=d\,r^{k}\dfrac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}}$ ( $n=mN+k$ , $0\le k<N$ )

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 등비급수개념 확인기본