등비급수 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$1+\frac{\pi }{{e}^{2}}+\frac{{\pi }^{2}}{{e}^{4}}+\frac{{\pi }^{3}}{{e}^{6}}+\frac{{\pi }^{4}}{{e}^{8}}+\cdots$

풀이 보기

이웃한 항의 비가 일정하면 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수렴해요.

1
규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$ , 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.
2
공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$ , $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.
3
결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

답

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자주 하는 실수

$\pi>e$ 라서 $\pi/e^2$ 도 1보다 크다고 착각하는 실수가 있어요(분모가 $e^2$ 임에 주의).

원본 교재 풀이(영어)

convergent geometric series, $r=\pi /{e}^{2}<1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번

# 등비급수개념 확인기본

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번우리말 풀이

[계산기 사용] 환자 몸속의 약의 양이 매시간 일정한 비율 $r<1$ 배로 줄어든다고 합시다. 새 약은 $N$ 시간마다 투여합니다. 투여량 $d$ 와 비율 $r$ 로, 각 $n$ 에 대해 $n$ 시간 후 환자 몸속의 약의 양 $A(n)$ 을 나타내는 식을 구하세요. (힌트: $n=mN+k$ ( $0\le k<N$ ) 로 쓰고, 서로 다른 투여분을 모두 더하세요.)

영어 원문 보기

[T] Suppose that the amount of a drug in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor $r<1$ each hour. Suppose that a new dose is administered every $N$ hours. Find an expression that gives the amount $A(n)$ in the patient’s system after $n$ hours for each $n$ in terms of the dosage $d$ and the ratio $r.$ (Hint: Write $n=mN+k,$ where $0\le k<N,$ and sum over values from the different doses administered.)

풀이 보기

각 투여분은 따로 줄어들고, 몸속의 양은 그 투여분들을 모두 더한 값이에요(첫 투여는 시각 $0$ 으로 봐요).

1
투여 시각을 정리해요. 투여는 시각 $0,\ N,\ 2N,\ \ldots$ 에 이뤄지고, $n=mN+k$ 이면 시각 $n$ 까지 $m+1$ 번(시각 $0,N,\ldots,mN$ ) 투여한 거예요.
2
한 번의 투여분이 남는 양을 구해요. 시각 $lN$ 에 투여한 약 $d$ 는 $n-lN$ 시간 동안 매시간 $r$ 배가 되니 $d\,r^{\,n-lN}$ 이 남아요.
3
모두 더해요. $A(n)=\sum_{l=0}^{m}d\,r^{\,n-lN}$ $q=m-l$ 로 바꾸면 $n-lN=k+mN-lN=k+qN$ 이므로 $A(n)=\sum_{q=0}^{m}d\,r^{\,k+qN}=d\,r^{k}\sum_{q=0}^{m}\left(r^{N}\right)^{q}$
4
등비수열의 합 공식을 써요. 첫째항 $1$ , 공비 $r^N$ , 항의 수 $m+1$ 이니 $A(n)=d\,r^{k}\cdot\frac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}},\qquad n=mN+k$

답

$A(n)=d\,r^{k}\dfrac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}}$ ( $n=mN+k$ , $0\le k<N$ )

자주 하는 실수

항의 수를 $m$ 개로 세어 $1-r^{mN}$ 으로 쓰는 실수가 있어요(투여 횟수는 $m+1$ 번).

원본 교재 풀이(영어)

The part of the first dose after $n$ hours is $d{r}^{n},$ the part of the second dose is $d{r}^{n-N},$ and, in general, the part remaining of the $m\text{th}$ dose is $d{r}^{n-mN},$ so

$A(n)=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{n-lN}=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{k+(m-l)N}=\sum_{q=0}^{m}d{r}^{k+qN}=d{r}^{k}\sum_{q=0}^{m}{r}^{Nq}=d{r}^{k}\frac{1-{r}^{(m+1)N}}{1-{r}^{N}},n=k+mN.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번

# 등비급수활용도전