급수의 수렴과 발산 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번

OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이 수의 수열이라고 하자. 수열 ${a}_{n}$ 의 부분합으로 이루어진 수열이 증가하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}\ge 0$ is a sequence of numbers. Explain why the sequence of partial sums of ${a}_{n}$ is increasing.

정답·풀이 보기

${S}_{N+1}={a}_{N+1}+{S}_{N}\ge {S}_{N}$

원본 교재 풀이(영어)

${S}_{N+1}={a}_{N+1}+{S}_{N}\ge {S}_{N}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.2절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] ${a}_{1}={S}_{1}=1$ 이고, 주어진 수 $S>1$ 과 $0<k<1$ 에 대해 ${a}_{n+1}=k(S-{S}_{n})$ , ${S}_{n+1}={a}_{n+1}+{S}_{n}$ 으로 정의한다고 하자. ${S}_{n}$ 은 수렴하나요? 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 구하세요. (힌트: 먼저 모든 $n$ 에 대해 ${S}_{n}<S$ 이고 ${S}_{n}$ 이 증가함을 논증하세요.)

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$S>1$ 이므로 ${a}_{2}>0$ 이고, $k<1$ 이므로 ${S}_{2}=1+{a}_{2}<1+(S-1)=S$ 이다. 어떤 n 에 대해 ${S}_{n}>S$ 이면 가장 작은 n 이 존재한다. 이 n 에 대해 $S>{S}_{n-1}$ 이므로 ${S}_{n}={S}_{n-1}+k(S-{S}_{n-1})$ $=kS+(1-k){S}_{n-1}<S$ 가 되어 모순이다. 따라서 모든 n 에 대해 ${S}_{n}<S$ 이고 ${a}_{n+1}>0$ 이므로, ${S}_{n}$ 은 증가하고 $S$ 로 위로 유계이다. ${S}_{*}=\lim \,{S}_{n}$ 이라 하자. ${S}_{*}<S$ 이면 $\delta =k(S-{S}_{*})>0$ 이지만, ${S}_{*}-{S}_{n}<\delta /2$ 인 n 을 찾을 수 있고, 이로부터 ${S}_{n+1}={S}_{n}+k(S-{S}_{n})$ $>{S}_{*}+\delta /2$ 가 되어 ${S}_{n}$ 이 ${S}_{*}$ 로 증가한다는 사실에 모순이다. 따라서 ${S}_{n}\to S$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류