발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 30번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 합을 $p$ -급수로 나타내고, 각각 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }n{2}^{-2\ln n}$

영어 원문 보기

Express the following sums as $p$ -series and determine whether each converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }n{2}^{-2\ln n}$

정답·풀이 보기

${2}^{-2\ln n}=1/{n}^{2\ln 2}.$ $2\ln 2-1<1$ 이므로 $p$ -급수에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${2}^{-2\ln n}=1/{n}^{2\ln 2}.$ Since $2\ln 2-1<1,$ diverges by $p$ -series.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 32번우리말 번역

추정식 ${R}_{N}\le {\int }_{N}^{\infty }f(t)dt$ 를 이용하여 ${a}_{n}=f(n)$ 일 때 나머지 ${R}_{N}=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}-\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 의 상한을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{{n}^{2}}$

다 풀었으면 정답 확인

${R}_{1000}\le {\int }_{1000}^{\infty }\frac{dt}{{t}^{2}}=-\frac{1}{t}{|}_{1000}^{\infty }=0.001$