발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 40번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 나머지 추정식 ${\int }_{N+1}^{\infty }f<{R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }f$ 가 $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ 이 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 을 주어진 오차 이내로 정확하게 추정함을 보장하도록 하는 $N$ 의 최솟값을 구하세요.

${a}_{n}=\frac{1}{1+{n}^{2}}$ , 오차 $<{10}^{-3}$

영어 원문 보기

[T] Find the minimum value of $N$ such that the remainder estimate ${\int }_{N+1}^{\infty }f<{R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }f$ guarantees that $\sum_{n=1}^{N}{a}_{n}$ estimates $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n},$ accurate to within the given error.

${a}_{n}=\frac{1}{1+{n}^{2}},$ error $<{10}^{-3}$

정답·풀이 보기

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{1+{x}^{2}}=\pi /2-{\tan }^{-1}(N),N>\tan (\pi /2-{10}^{-3})\approx 1000$

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{N}<{\int }_{N}^{\infty }\frac{dx}{1+{x}^{2}}=\pi /2-{\tan }^{-1}(N),N>\tan (\pi /2-{10}^{-3})\approx 1000$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 56번우리말 번역

[계산기 사용] 빠른 컴퓨터가 발산하는 급수 $\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n\ln n}$ 의 항을 초당 100만 개씩 더할 수 있다. 적분판정법을 이용하여 부분합이 $100$ 을 넘을 만큼 충분한 항을 더하는 데 걸리는 시간이 몇 초인지 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$N={e}^{{e}^{100}}\approx {e}^{{10}^{43}}$ 개의 항이 필요하다.

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