발산 판정법과 적분 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.3절 · 52번

OpenStax 2권 · 5.3절 · 52번대학 수준우리말 번역

나머지 추정이 $[N,\infty )$ 에서 적용되려면 $f(x)$ 가 $[N,\infty )$ 에서 감소하는 것으로 충분하고, $f$ 가 $[1,\infty )$ 에서 감소할 필요는 없음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that for the remainder estimate to apply on $[N,\infty )$ it is sufficient that $f(x)$ be decreasing on $[N,\infty ),$ but $f$ need not be decreasing on $[1,\infty ).$

정답·풀이 보기

${b}_{n}={a}_{n+N}$ 과 $g(t)=f(t+N)$ 으로 놓으면 $f$ 는 $[t,\infty )$ 에서 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

Set ${b}_{n}={a}_{n+N}$ and $g(t)=f(t+N)$ such that $f$ is decreasing on $[t,\infty ).$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.3절 · 50번우리말 번역

[계산기 사용] 카드를 섞는 가장 간단한 방법은 맨 위 카드를 뽑아 덱의 임의의 위치에 끼워 넣는 것이며, 이를 맨 위 무작위 삽입이라 하고 이것을 반복한다. 처음에 맨 아래에 있던 카드가 맨 위에 도달한 뒤 무작위로 삽입될 만큼 맨 위 무작위 삽입을 충분히 했을 때, 덱이 무작위로 섞였다고 생각하기로 한다. 덱이 $n$ 장의 카드로 이루어져 있다면, 삽입되는 위치가 처음에 맨 아래에 있던 카드(이 카드를 $B)$ 라 하자) 아래일 확률은 $1/n$ 이다. 따라서 $B$ 가 더 이상 맨 아래에 있지 않게 되기까지 맨 위 무작위 삽입의 기댓값은 n 이다. 한 장의 카드가 $B$ 아래에 있게 되면 $B$ 아래에는 두 자리가 있고, 무작위로 삽입된 카드가 $B$ 아래에 들어갈 확률은 $2/n$ 이다. 이런 일이 일어나기까지 맨 위 무작위 삽입의 기댓값은 $n/2$ 이다. 이제 $B$ 아래의 두 카드는 무작위 순서로 놓여 있다. 이와 같은 방식으로 계속하여, 덱이 무작위로 섞였다고 볼 수 있기까지 필요한 맨 위 무작위 삽입 횟수의 기댓값에 대한 공식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$B$ 를 맨 위로 보내기 위한 무작위 삽입 횟수의 기댓값은 $n+n/2+n/3+\cdots +n/(n-1)$ 이다. 그러면 한 번 더 삽입하여 $B$ 를 무작위로 다시 끼워 넣는다. 따라서 덱을 무작위로 섞기 위한 섞기 횟수의 기댓값은 $n(1+1/2+\cdots +1/n)$ 이다.

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