비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 14번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{\ln n}{n}\right)}^{2}$

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

$\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{\ln n}{n}\right)}^{2}$

정답·풀이 보기

$p>1$ 인 p-급수와 극한비교판정법으로 비교하면 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by limit comparison with p-series for $p>1.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 52번우리말 번역

[계산기 사용] 로버트는 자신의 몸무게를 임의의 정밀도로 알고 싶어 한다. 로버트에게는 완벽하게 작동하는 큰 천칭과, 무제한으로 많은 $1\,\text{-kg}$ 추, 그리고 $0.1\,\text{-kg,}$ $0.01\,\text{-kg},\,0.001\,\text{-kg,}$ 등의 추가 각각 아홉 개씩 있다. 천칭이 충분히 크다고 가정할 때, 로버트는 이것을 할 수 있습니까? 이것은 무한급수와 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

예. 천칭이 추가 있는 쪽으로 기울 때까지 $1\,\text{-kg}$ 추를 계속 더한다. 로버트가 반대쪽에 서 있는 상태에서 정확히 평형을 이루면 멈춘다. 그렇지 않으면 $1\,\text{-kg}$ 추 하나를 빼고, $0.1\,\text{-kg}$ 추를 한 번에 하나씩 더한다. 이 추들을 몇 개 더한 후 평형을 이루면 멈춘다. 그렇지 않고 추 쪽으로 기울면 마지막 $0.1\,\text{-kg}$ 추를 뺀다. 이제 $0.01\,\text{-kg}$ 추를 더하기 시작한다. 평형을 이루면 멈춘다. 추가 있는 쪽으로 기울면 마지막에 더한 $0.01\,\text{-kg}$ 추를 뺀다. $0.001\,\text{-kg}$ 추에 대해서도 이와 같은 방식으로 계속하고, 그 이후의 추에 대해서도 마찬가지로 한다. 유한한 횟수의 단계를 거치면 $A+\sum_{n=1}^{N}{s}_{n}/{10}^{n}$ 꼴의 유한급수를 얻는다. 여기서 $A$ 는 $1\,\text{-kg}$ 추의 개수이고 ${d}_{n}$ 은 더한 $1/{10}^{n}\,\text{-kg}$ 추의 개수이다. 어떤 단계에서 이 급수가 로버트의 정확한 몸무게이면 과정은 멈춘다. 그렇지 않으면 이 급수는 로버트의 정확한 몸무게를 나타내는 무한급수의 $N$ 번째 부분합이며, 이 합의 오차는 많아야 $1/{10}^{N}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산자동 분류