비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 52번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 로버트는 자신의 몸무게를 임의의 정밀도로 알고 싶어 한다. 로버트에게는 완벽하게 작동하는 큰 천칭과, 무제한으로 많은 $1\,\text{-kg}$ 추, 그리고 $0.1\,\text{-kg,}$ $0.01\,\text{-kg},\,0.001\,\text{-kg,}$ 등의 추가 각각 아홉 개씩 있다. 천칭이 충분히 크다고 가정할 때, 로버트는 이것을 할 수 있습니까? 이것은 무한급수와 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Robert wants to know his body mass to arbitrary precision. He has a big balancing scale that works perfectly, an unlimited collection of $1\,\text{-kg}$ weights, and nine each of $0.1\,\text{-kg,}$ $0.01\,\text{-kg},\,0.001\,\text{-kg,}$ and so on weights. Assuming the scale is big enough, can he do this? What does this have to do with infinite series?

정답·풀이 보기

예. 천칭이 추가 있는 쪽으로 기울 때까지 $1\,\text{-kg}$ 추를 계속 더한다. 로버트가 반대쪽에 서 있는 상태에서 정확히 평형을 이루면 멈춘다. 그렇지 않으면 $1\,\text{-kg}$ 추 하나를 빼고, $0.1\,\text{-kg}$ 추를 한 번에 하나씩 더한다. 이 추들을 몇 개 더한 후 평형을 이루면 멈춘다. 그렇지 않고 추 쪽으로 기울면 마지막 $0.1\,\text{-kg}$ 추를 뺀다. 이제 $0.01\,\text{-kg}$ 추를 더하기 시작한다. 평형을 이루면 멈춘다. 추가 있는 쪽으로 기울면 마지막에 더한 $0.01\,\text{-kg}$ 추를 뺀다. $0.001\,\text{-kg}$ 추에 대해서도 이와 같은 방식으로 계속하고, 그 이후의 추에 대해서도 마찬가지로 한다. 유한한 횟수의 단계를 거치면 $A+\sum_{n=1}^{N}{s}_{n}/{10}^{n}$ 꼴의 유한급수를 얻는다. 여기서 $A$ 는 $1\,\text{-kg}$ 추의 개수이고 ${d}_{n}$ 은 더한 $1/{10}^{n}\,\text{-kg}$ 추의 개수이다. 어떤 단계에서 이 급수가 로버트의 정확한 몸무게이면 과정은 멈춘다. 그렇지 않으면 이 급수는 로버트의 정확한 몸무게를 나타내는 무한급수의 $N$ 번째 부분합이며, 이 합의 오차는 많아야 $1/{10}^{N}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. Keep adding $1\,\text{-kg}$ weights until the balance tips to the side with the weights. If it balances perfectly, with Robert standing on the other side, stop. Otherwise, remove one of the $1\,\text{-kg}$ weights, and add $0.1\,\text{-kg}$ weights one at a time. If it balances after adding some of these, stop. Otherwise if it tips to the weights, remove the last $0.1\,\text{-kg}$ weight. Start adding $0.01\,\text{-kg}$ weights. If it balances, stop. If it tips to the side with the weights, remove the last $0.01\,\text{-kg}$ weight that was added. Continue in this way for the $0.001\,\text{-kg}$ weights, and so on. After a finite number of steps, one has a finite series of the form $A+\sum_{n=1}^{N}{s}_{n}/{10}^{n}$ where $A$ is the number of full kg weights and ${d}_{n}$ is the number of $1/{10}^{n}\,\text{-kg}$ weights that were added. If at some state this series is Robert’s exact weight, the process will stop. Otherwise it represents the $N\text{th}$ partial sum of an infinite series that gives Robert’s exact weight, and the error of this sum is at most $1/{10}^{N}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 50번우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$x>1/2$ 이면 $x$ 를 $x=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}({b}_{n}=0\,\text{또는}\,1,\,{b}_{1}=0)$ 으로 나타낼 수 없는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${b}_{1}=0$ 이면 비교에 의해 $x\le \sum_{n=2}^{\infty }1/{2}^{n}=1/2$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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