비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 34번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

어떤 $r>0$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{r}^{{n}^{2}}}$ 이 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

For which $r>0$ does the series $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{r}^{{n}^{2}}}$ converge?

정답·풀이 보기

모든 $r>1$ 에 대해 수렴한다. $r>1$ 이면 $n>\ln (2)/\ln (r)$ 일 때부터 예를 들어 ${r}^{n}>4$ 이고, 그러면 비가 $1/2$ 인 등비급수와의 극한비교판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges for all $r>1.$ If $r>1$ then ${r}^{n}>4,$ say, once $n>\ln (2)/\ln (r)$ and then the series converges by limit comparison with a geometric series with ratio $1/2.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 ${a}_{n}>0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 발산한다고 하자. ${b}_{n}$ 은 0과 1로 이루어진 임의의 수열이고 값이 1인 항이 무한히 많다고 하자. 이때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 발산합니까?

다 풀었으면 정답 확인

아니요. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ 은 발산한다. 어떤 $n$ 에 대해 $k={n}^{2}$ 인 경우가 아니면 ${b}_{k}=0$ 이라 하자. 그러면 $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ 은 수렴한다.

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