비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

모든 $n$ 에 대해 ${a}_{n}>0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 발산한다고 하자. ${b}_{n}$ 은 0과 1로 이루어진 임의의 수열이고 값이 1인 항이 무한히 많다고 하자. 이때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 은 반드시 발산합니까?

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}>0$ for all $n$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ diverges. Suppose that ${b}_{n}$ is an arbitrary sequence of zeros and ones with infinitely many terms equal to one. Does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ necessarily diverge?

정답·풀이 보기

아니요. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ 은 발산한다. 어떤 $n$ 에 대해 $k={n}^{2}$ 인 경우가 아니면 ${b}_{k}=0$ 이라 하자. 그러면 $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

No. $\sum_{n=1}^{\infty }1/n$ diverges. Let ${b}_{k}=0$ unless $k={n}^{2}$ for some $n.$ Then $\sum_{k}{b}_{k}/k=\sum 1/{k}^{2}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 36번우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$_{n=1}^{\infty }\left( \frac{n\pi }{2} \right)$ 은 수렴합니까, 발산합니까? 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

분자는 $n$ 이 홀수일 때 $1$ 이고 $n$ 이 짝수일 때 $0$ 이므로, 이 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1}$ 로 다시 쓸 수 있고, 이는 조화급수와의 극한비교판정법에 의해 발산한다.

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