비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 38번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이고 ${b}_{n}\ge 0$ 이며 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 과 $\sum_{n=1}^{\infty }{b}^{2}{}_{n}$ 이 수렴한다고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ 이 수렴하고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}\,{b}_{n}\le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}^{2}\right)$ 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that ${a}_{n}\ge 0$ and ${b}_{n}\ge 0$ and that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ and $\sum_{n=1}^{\infty }{b}^{2}{}_{n}$ converge. Prove that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{b}_{n}$ converges and $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}\,{b}_{n}\le \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}^{2}\right).$

정답·풀이 보기

${(a-b)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$ 또는 ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 2ab$ 이므로, 수렴은 $2{a}_{n}{b}_{n}$ 과 ${a}^{2}{}_{n}+{b}^{2}{}_{n}$ 의 비교에서 얻어진다. 좌변의 부분합이 우변의 부분합으로 유계이므로 무한급수에 대해서도 부등식이 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

${(a-b)}^{2}={a}^{2}-2ab+{b}^{2}$ or ${a}^{2}+{b}^{2}\ge 2ab,$ so convergence follows from comparison of $2{a}_{n}{b}_{n}$ with ${a}^{2}{}_{n}+{b}^{2}{}_{n}.$ Since the partial sums on the left are bounded by those on the right, the inequality holds for the infinite series.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 40번우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln n}$ 은 수렴하나요? (힌트: $n={e}^{\ln (n)}$ 을 이용하여 $p-\text{급수}.)$ 와 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${(\ln n)}^{-\ln n}={e}^{-\ln (n)\ln \ln (n)}.$ $n$ 이 충분히 크면 $\ln \ln n>2$ 이므로 ${(\ln n)}^{-\ln n}<1/{n}^{2}$ 이고, $p-\text{급수}$ 와의 비교에 의해 이 급수는 수렴한다.

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