비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 40번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 사용하여 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln n}$ 은 수렴하나요? (힌트: $n={e}^{\ln (n)}$ 을 이용하여 $p-\text{급수}.)$ 와 비교하세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Does $\sum_{n=1}^{\infty }{(\ln n)}^{-\ln n}$ converge? (Hint: Use $n={e}^{\ln (n)}$ to compare to a $p-\text{series}.)$

정답·풀이 보기

${(\ln n)}^{-\ln n}={e}^{-\ln (n)\ln \ln (n)}.$ $n$ 이 충분히 크면 $\ln \ln n>2$ 이므로 ${(\ln n)}^{-\ln n}<1/{n}^{2}$ 이고, $p-\text{급수}$ 와의 비교에 의해 이 급수는 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${(\ln n)}^{-\ln n}={e}^{-\ln (n)\ln \ln (n)}.$ If $n$ is sufficiently large, then $\ln \ln n>2,$ so ${(\ln n)}^{-\ln n}<1/{n}^{2},$ and the series converges by comparison to a $p-\text{series}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 42번우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 도 수렴함을 보이세요. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 도 반드시 수렴합니까?

다 풀었으면 정답 확인

${a}_{n}\to 0$ 이므로 충분히 큰 $n$ 에 대해 ${a}^{2}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이다. 수렴은 극한비교판정법에 의해 따른다. $\sum 1/{n}^{2}$ 은 수렴하지만 $\sum 1/n$ 은 수렴하지 않으므로, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴한다는 사실이 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴함을 뜻하지는 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 비교 판정법계산자동 분류