비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 42번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}\ge 0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 도 수렴함을 보이세요. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 도 반드시 수렴합니까?

영어 원문 보기

Show that if ${a}_{n}\ge 0$ and $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges. If $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges, does $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ necessarily converge?

정답·풀이 보기

${a}_{n}\to 0$ 이므로 충분히 큰 $n$ 에 대해 ${a}^{2}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ 이다. 수렴은 극한비교판정법에 의해 따른다. $\sum 1/{n}^{2}$ 은 수렴하지만 $\sum 1/n$ 은 수렴하지 않으므로, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴한다는 사실이 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴함을 뜻하지는 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}\to 0,$ so ${a}^{2}{}_{n}\le |{a}_{n}|$ for large $n.$ Convergence follows from limit comparison. $\sum 1/{n}^{2}$ converges, but $\sum 1/n$ does not, so the fact that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges does not imply that $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 34번우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

어떤 $r>0$ 에 대해 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{r}^{{n}^{2}}}$ 이 수렴하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

모든 $r>1$ 에 대해 수렴한다. $r>1$ 이면 $n>\ln (2)/\ln (r)$ 일 때부터 예를 들어 ${r}^{n}>4$ 이고, 그러면 비가 $1/2$ 인 등비급수와의 극한비교판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.

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