비교 판정법 연습문제 — OpenStax 2권 · 5.4절 · 46번

OpenStax 2권 · 5.4절 · 46번대학 수준우리말 번역

극한비교판정법을 이용하여 다음 각 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

${a}_{n}\ge 0$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ 이 수렴하면 $\sum_{n=1}^{\infty }{\sin }^{2}({a}_{n})$ 도 수렴함을 보이세요.

영어 원문 보기

Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.

Show that if ${a}_{n}\ge 0$ and $\sum_{n=1}^{\infty }{a}^{2}{}_{n}$ converges, then $\sum_{n=1}^{\infty }{\sin }^{2}({a}_{n})$ converges.

정답·풀이 보기

$|\sin t|\le |t|$ 이므로 비교판정법에 의해 결론이 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

$|\sin t|\le |t|,$ so the result follows from the comparison test.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 2권 · 5.4절 · 30번우리말 번역

$p$ 가 충분히 크면 $\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{(\ln n)}{n}\right)}^{p}$ 은 수렴하나요? 그렇다면 어떤 $p$ 에 대해 수렴하나요?

다 풀었으면 정답 확인

$p>1$ 일 때 수렴한다. $p$ 가 약간 더 작은 $p$ 급수와 비교하면 된다.

# 비교 판정법증명·논술자동 분류