빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

비교 판정법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 2권 · 5.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

비교판정법을 이용하여 다음 급수가 수렴하는지 판단하세요.

∑n=1∞sin⁡(1/n)n2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (1/n)}{{n}^{2}}

영어 원문 보기

Use the comparison test to determine whether the following series converge.

∑n=1∞sin⁡(1/n)n2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (1/n)}{{n}^{2}}

정답·풀이 보기

sin⁡(1/n)≤1/n\sin (1/n)\le 1/n 이므로 p=2p=2 인 p-급수와 비교하면 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

sin⁡(1/n)≤1/n,\sin (1/n)\le 1/n, so converges by comparison with p-series, p=2.p=2.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 3.3절 · 11번우리말 번역

비판정법으로 판정할 수 없는, 수렴하는 급수의 예를 하나 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

가능한 답 중 하나: ∑n=1∞1n2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}. 이 급수는 수렴한다(p=2>1p=2>1 인 pp–급수이다). 그러나 이웃하는 항의 비를 구하면 다음과 같다. lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞n2(n+1)2=1\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1 비의 극한이 1이므로 비판정법으로는 판정할 수 없다.

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# 비교 판정법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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